Induksi Matematika

INDUKSI MATEMATIKA

Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan
Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu


TAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA

Basis Step : Tunjukkan bahwa S(1) benar
Inductive Step : Sumsikan S(k) benar
Akan dibuktikan S(k) --> S(k+1) benar
Conclusion: S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer positif

PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA

Contoh :
Buktikan bahwa :
1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1)
untuk setiap n bilangan integer positif

Jawab :

Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :
1 = ½ 1 . (1+1) -> 1 = 1

Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 2 + 3 +...+ k = ½ k (k+1)
adib. Untuk n = k+1 berlaku
1 + 2 + 3 +...+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)

Jawab :
1 + 2 + 3 +...+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2
1 + 2 + 3 +...+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

k (k+1) / 2 + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2
(k+1) [ k/2 +1 ] = (k+1) (k+2) / 2
(k+1) ½ (k+2) = (k+1) (k+2) / 2
(k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2

Kesimpulan : 1 + 2 + 3 +...+ n = ½ n (n +1)
Untuk setiap bilangan bulat positif n


Contoh Lain ->
Buktikan bahwa :
1 + 3 + 5 +...+ n = (2n - 1) = n2
untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :
Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :
1 = 12 -> 1 = 1

Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 3 + 5 +...+ (2k – 1) = k2
adib. Untuk n = k + 1 berlaku
1 + 3 + 5 +...+ (2 (k + 1) – 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 +...+ (2k + 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 +...+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 +...+ (2k - 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)2

k 2 + (2K + 1) = (k + 1)2
k 2 + 2K + 1 = k 2 + 2K + 1

Kesimpulan : 1 + 3 + 5 +...+ n = (2n - 1) = n2
Untuk setiap bilangan bulat positif n